Обратная теорема Пифагора: как распознать прямой угол
Равенство 5² = 3² + 4² позволяет не только найти сторону: оно доказывает, что угол между сторонами 3 и 4 прямой.
От длин к углу
Обычная теорема начинает с прямого угла и выводит соотношение сторон. Обратная идёт в другую сторону: если в треугольнике для самой длинной стороны c выполняется c² = a² + b², угол между a и b обязательно прямой. Это утверждение записано у Евклида как I.48.
Демонстрация на 3–4–5
Пусть измерены три стороны: 3, 4 и 5. Считаем: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, а 5² = 25. Равенства совпали, значит угол между сторонами длиной 3 и 4 равен 90°. Здесь не требуется увидеть угол на глаз или доверять неточной линейке.
Идея евклидова доказательства 📐
На стороне длиной 4 можно построить перпендикуляр и отложить на нём отрезок 3. Новый треугольник уже прямоугольный, поэтому для его третьей стороны получается 5. Исходный треугольник имеет те же три стороны 3, 4, 5; по равенству по трём сторонам соответствующий угол совпадает с построенным прямым углом.
Где легко ошибиться
Сравнивать нужно квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух остальных. Для 2, 3, 4 равенство не работает: 4 + 9 не равно 16. А для измерений с погрешностью результат следует оценивать с допуском, а не объявлять угол идеальным после округления.
Практическое применение
Разметка прямого угла на площадке часто использует именно это свойство: отмеряют 3 и 4 единицы от вершины, а расстояние между концами должно стать 5. Масштаб можно увеличить до 6–8–10, сохранив отношение.