Доказательство площадями: почему теорема Пифагора убедительна
Переставив четыре одинаковых треугольника внутри большого квадрата, можно увидеть равенство квадратов сторон без измерений и догадок.
Большой квадрат
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Положим четыре его копии в квадрат со стороной a+b так, чтобы гипотенузы образовали в центре наклонённый квадрат. Его сторона c, значит площадь равна c².
Первый подсчёт
Площадь внешнего квадрата равна (a+b)². Она состоит из центрального квадрата c² и четырёх треугольников. Площадь одного треугольника ab/2, поэтому вместе они занимают 2ab. Получаем (a+b)² = c² + 2ab.
Алгебра без тайного шага
Раскрываем левую часть: a² + 2ab + b². Вычитаем 2ab с обеих сторон и остаётся a² + b² = c². Геометрия здесь оправдывает каждый символ: a² и b² — площади квадратов на катетах, а не просто буквы в формуле.
Пример 3–4–5 🔷
Внешний квадрат имеет сторону 7 и площадь 49. Четыре треугольника 3×4 занимают 4×6 = 24. В центре остаётся 25, то есть квадрат со стороной 5. Этот остаток сразу показывает гипотенузу.
Историческая аккуратность
Такое доказательство — современное наглядное объяснение. В «Началах» Евклид доказывает proposition I.47 другим построением, через площади квадратов и параллелограммов. Оба пути доказывают одно отношение; ни один сам по себе не устанавливает, кто первым его открыл.