Пифагоровы тройки: целые стороны прямоугольного треугольника
Тройки 3–4–5 и 5–12–13 — не редкая удача: целые решения уравнения a² + b² = c² можно строить систематически.
Что называют тройкой
Пифагорова тройка — три положительных целых числа a, b, c, для которых a² + b² = c². Тройка 3, 4, 5 работает, потому что 9 + 16 = 25. Следующая знакомая: 5, 12, 13, ведь 25 + 144 = 169. Умножение всех сторон на одно число даёт новую тройку: из 3–4–5 получается 6–8–10.
Формула, которая строит примеры
Возьмём положительные целые m и n, где m > n. Тогда m² − n², 2mn и m² + n² образуют тройку. При m = 2, n = 1 получаем 3, 4, 5. При m = 3, n = 2: 5, 12, 13. Проверка встроена в алгебру: (m²−n²)² + (2mn)² после раскрытия скобок равна (m²+n²)².
Почему не все решения так просты
Формула даёт все примитивные тройки при дополнительных условиях: m и n взаимно просты и разной чётности. Без этих условий она всё равно даёт верные примеры, иногда кратные уже известным. Например, 8–15–17 получается из m = 4 и n = 1.
История названия
Связь квадратов сторон была известна до Пифагора. Евклидово изложение и позднее название не требуют считать каждую тройку личным открытием философа. Их ценность в другом: они превращают геометрический прямой угол в точную арифметическую конструкцию.