Диагональ квадрата и несоизмеримость: трудный урок числа
У квадрата со стороной 1 диагональ равна √2; короткое доказательство чётностью показывает, почему это число нельзя записать дробью p/q.
Диагональ, которую нельзя измерить дробью
У единичного квадрата обе стороны равны 1. По теореме о прямоугольном треугольнике квадрат диагонали равен 1² + 1², то есть 2. Поэтому сама диагональ равна √2. Калькулятор выдаст приблизительно 1,414213…, но приближение ещё не отвечает на главный вопрос: существует ли точная дробь из целых чисел?
Представим, что существует. Тогда √2 = p/q, где p и q — целые положительные числа. Дробь можно сократить, поэтому сразу выберем её в самом простом виде: у p и q нет общих делителей. Именно это условие понадобится в финале; без него противоречие не сработает.
Почему чётный квадрат выдаёт чётное число
Возведём равенство в квадрат: 2 = p²/q², откуда p² = 2q². Значит p² делится на 2, то есть чётно. Здесь действует простое наблюдение. Нечётное число имеет вид 2r + 1; его квадрат равен 4r² + 4r + 1, а после деления на 2 остаётся остаток 1. Следовательно, квадрат нечётного числа нечётен. Если квадрат p чётен, само p обязано быть чётным.
Пишем p = 2k. Подстановка даёт (2k)² = 2q², или 4k² = 2q². После деления на 2 получаем q² = 2k². Квадрат q тоже чётен, а значит чётно и q.
Где возникает противоречие
И p, и q делятся на 2. Но в начале p/q была выбрана несократимой. Одно и то же предположение заставило дробь быть одновременно несократимой и сократимой. Значит исходного представления √2 = p/q не существует.
Это доказательство называют доказательством от противного: временно принимается утверждение, затем из него выводится невозможность. Оно не зависит от бесконечной записи десятичной дроби. Даже если выписать миллион знаков после запятой, это не объяснит, почему точной дроби нет; объясняет именно рассуждение о делимости.
Длина и несоизмеримость
Для греческой геометрии итог можно выразить языком отрезков: сторону квадрата и его диагональ нельзя отмерить одной общей малой длиной целое число раз. Современная запись √2 и доказательство через чётность удобны для урока, но не являются автографом Пифагора. Евклидова формулировка теоремы о прямоугольном треугольнике даёт геометрический старт, а доказательство иррациональности здесь изложено современным арифметическим способом.
Точное число не обязано заканчиваться
Иррациональность не делает √2 расплывчатым числом. Напротив, это совершенно точная длина, определяемая уравнением d² = 2 и положительностью d. В вычислениях можно взять 1,414 или больше знаков, заранее назвав точность. В доказательстве же достаточно установить, что никакая дробь целых чисел этой длине не равна.